Estrategia didáctica para introducir contenidos en clases de matemática basadas en problemas
Didactic Strategy to introduce contents in mathematics class based in problems
Ensinando estratégia de introdução de
conteúdo nas
aulas de matemática com base em problemas
Lic. Yenny A. Zambrano-Villegas, Lic.
Martha L. Mendoza-Navarrete
yenny.69@hotmail.com,
marthalorenamen1@hotmail.com
Universidad Laica Eloy Alfaro de Manabí
Extensión Chone, Chone, Ecuador
Recibido:
2 de febrero de 2016
Aceptado: 16 de mayo de
2016
Resumen
Este artículo propone una estrategia
didáctica para desarrollar la clase de matemática basada
en problemas, usando
la metodología de la modelación matemática en una
enseñanza contextualizada en
la carrera de Ingeniería en Sistemas, en este el problema
determina el objetivo
de la clase y los contenidos, y en qué secuencia deben ser
analizados para
encontrar la solución del problema, lo que favorece la
formación de la cultura
matemática de los estudiantes que aprenden matemática
asociada a los contextos
de su futura actividad profesional.
Palabras
clave: Matemática
educativa, aprendizaje basada en problemas, solución de problemas.
Abstract
Key words: educational mathematics, teaching based in problems,
problem solving.
Este artigo propõe
uma estratégia de ensino para desenvolver o tipo de
matemática baseada em
problemas, utilizando a metodologia de modelagem matemática no
ensino
contextualizado na carreira de Engenharia Agrícola, este
problema determina o
objetivo da aula e conteúdo, e que sequência devem ser
analisados para
encontrar a solução do problema, o que favorece a
formação de cultura
matemática de estudantes da matemática associados com os
contextos da sua
futura actividade profissional de aprendizagem.
Palavras-chave: educação
matemática, aprendizagem baseada em problemas,
resolução de problemas.
Introducción.
La situación de la educación en el Ecuador
es
dramática, caracterizada, entre otros, por los siguientes
indicadores:
persistencia del analfabetismo, bajo nivel de escolaridad, tasas de
repetición
y deserción escolares elevadas, mala calidad de la
educación y deficiente
infraestructura educativa y material didáctico. Los esfuerzos
que se realicen
para revertir esta situación posibilitarán disponer de
una población educada
que pueda enfrentar adecuadamente los retos que impone el actual
proceso de
apertura y globalización de la economía. (VITERI DÍAZ G 2006).
El modelo educativo en los colegios
de Ecuador está en plena transformación, conforme a los
objetivos que contempla
el Ministerio de Educación y el Plan de desarrollo del Buen
Vivir, que impulsa
el Gobierno Nacional. El pensum de estudio es uno de los principales
aspectos
en los que se enfocan los cambios.
El Ministerio de Educación centra
sus esfuerzos en el mejoramiento de la calidad de la educación
inicial. Uno de
esos aspectos es “la inserción de ejes curriculares en la
malla de la educación
básica y del bachillerato. (El
modelo
educativo ecuatoriano busca el mejoramiento de la calidad de la
enseñanza
2012).
El sector educativo ecuatoriano en los últimos
años se
ha preocupado en mejorar la calidad de educación, por ende, la
evaluación cobra
un papel trascendental, convirtiéndose en una herramienta de
apoyo para el
docente permitiendo regular y mejorar el proceso de
enseñanza–aprendizaje,
dejando a un lado la anterior concepción de su funcionamiento,
que consistía en
acreditar un aprendizaje memorístico y mecánico de los
educandos, sin dar
importancia a la comprensión cabal de los contenidos y la
capacidad de argumentación,
reflexión y razonamiento.
La evaluación en el área de
matemáticas permite
recolectar evidencias sobre el conocimiento del estudiante acerca de la
aptitud
para aplicarlos, valorando el nivel de razonamiento lógico,
crítico, reflexión,
creativo y la capacidad de formular y resolver problemas, de esta
manera
contribuye a la adquisición de un aprendizaje significativo
permitiendo al
estudiante aplicar el mismo de madera funcional en su vida cotidiana. (MERCHÁN
FEIJOO MA, 2010).
En las
últimas dos décadas del siglo XX y durante los primeros
años del presente, la
educación matemática ha experimentado un desarrollo muy
importante tanto
cualitativa como cuantitativamente. Este avance ha tenido lugar, en la
mayoría
de los casos, en el ámbito teórico, sin consecuencias
significativas para
grandes sectores de la población. La explicación de este
fenómeno podría estar,
por una parte, en la escasa comunicación entre los docentes de
aula y los
"teóricos" de la educación matemática y por otra
en que los docentes
durante su formación y actualización aún no
dispondrían de suficiente
información sobre estrategias didácticas para el
desarrollo apropiado del
proceso de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas
escolares. (MORA, C. D
2003)
La historia de las matemáticas muestra que las
definiciones, propiedades y teoremas enunciados por matemáticos
famosos también
son falibles y están sujetos a evolución. De manera
análoga, el aprendizaje y
la enseñanza deben tener en cuenta que es natural que los
alumnos tengan dificultades
y cometan errores en su proceso de aprendizaje y que se puede aprender
de los
propios errores. Esta es la posición de las teorías
psicológicas
constructivistas sobre el aprendizaje de las matemáticas, las
cuales se basan a
su vez en la visión filosófica sobre las
matemáticas conocidas como
constructivismo social. (GODINO. J.
D.2003).
Uno de los métodos que se ha utilizado sin
llegar a alcanzar los resultados, es el aprendizaje basado en
problemas, este
método está Basado
en Problemas (ABP) es un método1 de
enseñanza-aprendizaje2 centrado
en el estudiante en el que éste adquiere conocimientos,
habilidades y actitudes
a través de situaciones de la vida real. Su finalidad es formar
estudiantes
capaces de analizar y enfrentarse a los problemas de la misma manera en
que lo
hará durante su actividad profesional, es decir, valorando e
integrando el
saber que los conducirá a la adquisición de competencias
profesionales.” (BERNABEU,
CONSUL 2016).
Mucho antes del surgimiento del
aprendizaje basada en problemas, se habían realizado estudios
sobre resolución
de problemas aplicando procedimientos matemáticos, estos
fueron iniciados por los matemáticos de la
antigüedad y retomados por Polya, (1945), que describe una
metodología para
resolver problemas aplicando la matemática, introduce, explica y
orienta acerca
del uso de estrategias que favorecen el razonamiento matemático
y que ayudan al
estudiante a orientarse y guiarse para resolver un problema, a estas
les llamó
estrategias heurísticas.
Las estrategias heurísticas favorecen la
aplicación de la matemática en la solución de
cualquier tipo de problemas,
incluso los que conllevan al uso de modelos matemáticos, que se
constituyen en
una herramienta sólida para la enseñanza y el aprendizaje
de la matemática
basada en problemas.
Estos componentes constituyen las bases
teóricas de esta estrategia didáctica, que los profesores
pueden utilizar para
favorecer la comprensión y la resolución de problemas en
contextos diferentes,
y que faciliten la trasmisión de contenidos que los estudiantes
aprenden,
relacionados con una asignatura o una disciplina en las que se aplique
matemática,
relacionada con la realidad social y las necesidades de la
producción y los
servicios, La resolución de problemas facilita el aprendizaje de
los contenidos
vinculados con los problemas del mundo real.
El sistema categorial, de la resolución de
problemas contempla tres categorías fundamentales, ellas son:
• El problema
• Su resolución
• Y el uso de una adecuada metodología
El problema ha sido abordado por varios
autores desde diversas perspectivas: Delgado (1999), definió el
término
problema como: “Situación verdaderamente polémica
para el resolutor, la cual,
teniendo conciencia de ella, no conoce una vía de
solución”.
La definición de Labarrere (1987), resume
acertadamente el consenso entre las definiciones consultadas: “Un
problema es
determinada situación en la cual existen nexos, relaciones,
cualidades, de y
entre los objetos que no son accesibles directa e inmediatamente a la
persona”,
o sea, “una situación en la que hay algo oculto para el
sujeto, que este se
esfuerza por hallar”.
Alonso (2001), enfoca el problema
matemático desde el punto de vista de la información y
estructura del problema
y cómo el estudiante se lo representa y resuelve. Al respecto
plantea su concepción
de problema matemático como: “Una situación
matemática que contempla tres
elementos: objetos, características de esos objetos y relaciones
entre ellos”.
La resolución de problemas es un proceso
trascendental en la enseñanza y aprendizaje de la disciplina
Matemática,
Delgado (1998), considera la resolución de problemas como una
habilidad
matemática y señala que resolver: “es encontrar un
método o vía de solución que
conduzca a la solución de un problema”.
Según Llivina (1999), “la resolución
de problemas
matemáticos es una capacidad específica que se desarrolla
a través del proceso
de enseñanza-aprendizaje de
De acuerdo con Delgado (1999), en este
trabajo se considera la resolución de problemas como una
habilidad matemática
que debe alcanzar la persona que enfrenta el problema, y que le
facilita la
aplicación de procedimientos que ordenados adecuadamente
constituyen la vía que
conduce a encontrar la solución.
Otro aspecto importante para llegar al
resultado es el uso de una metodología,
la clásica, es la propuesta dada por Polya, que además se
apoya en un conjunto
de elementos heurísticos que contribuyen a la enseñanza
de la matemática, como
consecuencia de esta, aparece en España la de Miguel de
Guzmán, cuya
utilización alcanza también cierta popularidad en
Hispanoamérica.
En este trabajo se utiliza una metodología
de resolución de problemas de sistemática
utilización en nuestro país, la cual
se conoce como metodología de la modelación
Matemática, que es más sencilla que
las anteriores y mejor comprendida por los estudiantes, aunque en esta
no se
aprecia recomendaciones heurística para los estudiantes como en
las anteriores,
pero con ella se han obtenido buenos resultados debido a la sencillez
del
trabajo en etapas y a las indicaciones precisas de los procedimientos a
realizar.
Sin embargo aun cuando se muestran algunos
avances en la didáctica de la Matemática, todavía
los estudiantes se
cuestionan, acerca de la importancia de esta disciplina, para sus
respectivas
carreras, y esto está relacionado con las situaciones en las
clases y la forma
en que les llega el contenido de la misma. Lo que tradicionalmente se
viene
haciendo en la enseñanza de
Esto contrasta significativamente con las
ideas que se muestran en esta investigación, en la cual, la
enseñanza de
Al respecto Freudenthal (1991), expresó
que la matemática debería ser considerada como una
actividad humana, y por
tanto debe estar al alcance de todos, debe ser enseñada en
conexión con la
realidad social de los estudiantes. Más que pensar en una
enseñanza de la
matemática enfocada como un sistema deductivo, el estudiante
debe interactuar
con la matemática, a través de experiencias de la vida
que le permitan ver a
esta disciplina como una herramienta que le posibilita organizar y
comprender
la realidad presente y futura. A esta teoría de la
enseñanza se le llama
Matemática Realista.
Otra línea de investigación considerada en
este estudio es
Los aspectos relacionados sobre
También en
esta investigación se considera el papel que en la
enseñanza cumplen las funciones
didácticas de la matemática, según
lo expuesto por Hernández (2004), estas se caracterizan por ser
tareas
esenciales (a veces como etapas, eslabones o hilos conductores) del
proceso de
enseñanza aprendizaje, derivadas de sus regularidades, y
reflejan y aseguran
paso a paso en su integración y acción conjunta, la
resolución del problema y
la asimilación del contenido. Este autor considera las funciones
didácticas
(FD) siguientes: Aseguramiento del nivel de partida (ANP),
Orientación hacia el
objetivo (OHO), Motivación (M), Tratamiento del nuevo
conocimiento (TNC), Fijación o
consolidación de lo aprendido (F),
y Control o Evaluación (CE).
Métodos y resultados
En el aprendizaje basado en problemas, la
presentación del problema es un momento importante dentro del
desarrollo de la
clase, es este el que desencadena las actividades de aprendizaje en
todo el
proceso de enseñanza, es responsabilidad del profesor propiciar
un nivel de
comunicación entre profesor y alumnos y entre alumnos y alumnos
que permite una
comprensión del problema, aspecto este considerado necesario
para la
efectividad del método.
A continuación se explicara mediante un
problema de optimización lineal los pasos necesarios para
introducir el
contenido en una clase basada en problemas.
Aplicación del método de aprendizaje basado
en problemas
En la formulación del problema con fines
docentes, es necesario considerar la contextualización de la
enseñanza con la
futura labor profesional de los estudiantes, en esta propuesta se
seleccionó un
contenido de Matemática II, en un contexto de la especialidad de
Ingeniería en Sistemas.
Formulación del problema
La producción de dos cultivos expresada en
toneladas está determinada por la función f(x, y) = 2x2 +
y2, que se encuentra
sujeta a las necesidades diarias de agua de
Luego de presentado el problema es
oportuno desarrollar la siguiente función didáctica.
Orientación hacia el objetivo
En este momento el profesor debe
considerar determinadas funciones que sirvan de guía durante el
desarrollo de
su clase, estas son las funciones didácticas orientación
al objetivo, preparación del nivel de partida y la
motivación, que relacionadas entre sí constituyen la
guía para el desarrollo y
el éxito de la clase.
Deben considerarse los siguientes aspectos
¿Qué vamos a hacer?, se debe explicar en
detalles lo que se pretende, enfatizando en las habilidades a lograr
por el
estudiante, algunas de ellas pueden ser, identificar, interpretar,
modelar,
calcular y resolver problemas.
¿Con qué herramientas o conocimientos
previos lo vamos a hacer?, se debe relacionar y explicar el contenido
precedente, de forma que este permita comprender el contenido que se
quiere explicar,
lo que facilita cumplir el principio de la sistematicidad de la
enseñanza. En
el caso que se ejemplifica se deben abordar aspectos de la
resolución de
sistemas de ecuaciones, un contenido que se imparte en la
enseñanza media y las
derivadas parciales que fue desarrollada en clases anteriores en este
mismo
tema. ¿Por qué lo vamos a hacer?, se explicará la
importancia del problema o
del tema.
Las respuestas a estas interrogantes serán
el hilo conductor de las acciones. Aunque es oportuno que el profesor
ejecute
estas acciones, con la adecuada maestría pedagógica, en
diversos momentos de la
clase, debe hacer alguna alusión a estos aspectos.
El tercer paso está relacionado con la
motivación como función didáctica, en ella se
deben abordar aspectos como los
siguientes.
a) Importancia científica y práctica del
tema
b) Su contribución para hacer un uso
racional de los recursos, para que el costo de los productos sea
mínimo o que
la utilidad sea máxima.
c) ¿Cómo el tema contribuye a resolver el
problema de la eficiencia de las empresas y el uso adecuado de los
recursos?
En este estudio las acciones del profesor
pueden ser: Explicar los fundamentos de los problemas de
optimización no lineal
y expresar que esta da respuesta a un tipo general de problemas donde
se desea
elegir la solución óptima de un conjunto de posibles
soluciones y argumentar
que estos tratan de ayudar a tomar una decisión óptima
para maximizar
(ganancias, velocidad, eficiencia, y otros) o minimizar con un criterio
determinado (costos, tiempo, riesgo, error, y otros), en este problema
se
considera la función objetivo, para este caso f(x, y) = 2x2 + y2.
Las restricciones están formadas por
aquellos recursos que se disponen solo en cantidades deficitarias o a
veces
insuficientes para cubrir las necesidades que se tienen, y por tanto es
necesario utilizarlos de la manera más eficiente y precisa.
Si la restricción es una igualdad, con
menor o igual número de variables que la función objetivo
entonces, el cálculo
de los valores extremos de la función en el que se utiliza el
cálculo
diferencial es el método que facilita la respuesta, a este
método se le llama
optimización clásica o no lineal.
La presentación y estudio de la
metodología que se va a utilizar conlleva al análisis de
los pasos que se deben
seguir para su correcta aplicación en la búsqueda del
modelo matemático que
contribuye a resolver problemas de optimización no lineal.
Las etapas
y acciones a realizar se muestran a continuación.
1. Planteamiento
del modelo
a) Variables de decisión
b) Restricciones
c) Función objetivo
d) Criterio de optimización
2. Resolución del modelo
e) Determinación de la solución
3- Conclusiones
f) Interpretación de la solución
En el comienzo del planteamiento del
modelo es necesario mover el pensamiento matemático de los
estudiantes, para
ello se utilizarán algunos elementos heurísticos que
posibilitan la comprensión
y familiarización con el problema. Se pueden realizar las
siguientes preguntas.
¿Cuáles variables conforman el problema?
¿Qué significa cada una?
¿Cuál es el recurso disponible que es
restringido?
¿Con qué cantidad se dispone?
¿Cuáles son los valores que se desean
maximizar?
El uso de la metodología para resolver el
problema e introducir el contenido se realiza mediante el desarrollo de
los
siguientes pasos.
1-
Planteamiento del modelo
Variables de decisión:
X: Disponibilidad de agua para el cultivo
x.
Y: Disponibilidad de agua para el cultivo
y.
Condición de no negatividad. x, y =>0.
Restricción. 8 x + 2 y = 18
Función objetivo: Max Z=2 x2 + y2
2-
Resolución del modelo
En este
paso se consideran y se analizan aspectos esenciales del método
de solución a
utilizar, se explicarán aspectos como los que siguen a
continuación.
Elementos históricos del método para
resolver el problema
En este paso no se debe olvidar el
tratamiento de aspectos históricos y generales del contenido o
de los
matemáticos que estudiaron y desarrollaron el tema.
En la resolución de los problemas de
optimización no lineal, se utilizan los multiplicadores de
LaGrange, nombrados
así en honor a Joseph Louis LaGrange, que es un método
para solucionar
problemas que tengan funciones de varias variables que están
sujetas a ciertas
restricciones, y cuyos resultados nos interesa maximizar o minimizar.
Este método facilita la comprensión del
problema, aunque de n variables, es transformado en n + 1
variables, la nueva variable escalar desconocida λ se le llama
multiplicador de
LaGrange, que se asocia a cada
restricción y forma una combinación lineal involucrando
los multiplicadores
como coeficientes.
Indicaciones prácticas para determinar la
solución
Aquí se comienza con el tratamiento del
contenido que se quiere introducir, argumentando lo más
significativo del
mismo.
Sean f y g dos funciones con primeras
derivadas parciales continuas, tales que f tiene un extremo en (x0,
y0), sobre
una curva suave g(x, y)=c.
Se cumple que V f(x0, y0) = λ V g(x0, y0), Al número λ
se le llama multiplicador de LaGrange.
Para hallar el valor óptimo de f(x).
Basta con resolver el sistema de
ecuaciones formado por.
1 fx (x, y) = λ
gx (x, Y)
2 fy (x, y) = λ
gy (x, Y)
Evaluar la función f (x, y) en cada uno de
los puntos de la solución obtenida, Si el sistema tiene
más de un cero,
entonces el valor más grande es el máximo y el menor es
el mínimo, sujetos a la
restricción g(x, y)=c
d) Determinación de la solución
Se explica cómo se procede para determinar
la solución del problema.
Calcular derivadas parciales.
لf/ لx = 4 x لf/ لy = 2 y لg/ لx= ل 8 g/ لy= 2
Formación y resolución del sistema.
1.- 4 x = 8 λ ------- x= 2 λ
2.- 2 y = 2 λ ---- y = λ
3.- 8 x + 2 y = 18 ---- 8(2 λ) +
2(λ) =18
16 λ + 2 λ
=18 -- λ=1; x=2
por 1 y Y=1 por 2.
Conclusiones del problema
Es prudente recomendar al estudiante el análisis
completo del proceso de solución para complementar su Cultura
Matemática y
fijar los procedimientos realizados para que puedan ser utilizados en
la
solución de otros problemas, y luego proceder al análisis
de las conclusiones.
Para calcular la producción estimada
tomando en consideración los valores obtenidos de x=2 y y=1, se
sustituyen
estos en la función objetivo que se expresó como la
producción máxima estimada
para 18m3 de agua.
f(x)= 2x2 + y2 siendo f(2,1) = 2* (2)2 +
12 = 9 t
La producción máxima estimada es de 9
toneladas para una disponibilidad de
Análisis e indicaciones generales de la
estrategia didáctica
El principal resultado de esta
investigación es una estrategia didáctica que facilita la
introducción de
contenidos en clases de matemática utilizando el método
del aprendizaje basada
en problemas.
Los problemas representan situaciones
reales presentes en la sociedad o en el contexto de la futura actividad
profesional de los estudiantes, la relación con estos contextos
y con los
métodos de solución de estos tipos de problemas, pueden
ser extensibles a
situaciones reales, lo que contribuye al incremento de la cultura
general de
los estudiantes, y posibilita que ellos comprendan la importancia de la
matemática como una ciencia aplicable a la solución de
problemas de la sociedad
y a otras disciplinas científicas.
Para lograr una mejor efectividad del
proceso de aprendizaje, los contenidos deben ser presentados
relacionados con
el problema planteado y con los objetivos de la clase. En la
presentación del
problema ante los estudiantes, se debe explicar los aspectos esenciales
del
mismo con suficientes claridad para que los estudiantes lo comprendan y
puedan
establecer las relaciones fundamentales entre las variables, se deben
brindar
además indicaciones sobre el origen de los datos y las
técnicas utilizadas para
recopilarlos, así como aquellos aspectos trascedentes
investigados en el
contexto que originó el problema.
La orientación hacia el objetivo en esta
estrategia considera tres aspectos esenciales, el análisis del
objetivo
considerando las habilidades matemáticas a formar en el
estudiante; preparar o
asegurar el nivel de partida, lo que significa considerar el sistema de
conocimientos, de habilidades, de valores y experiencias previas que
deben
tener los estudiantes para comprender los contenidos que se van a
introducir; y
un tercer aspecto a considerar es la motivación, en la que se
debe analizar la
importancia de la resolución de estos problemas en el plano
económico, para
tomar una decisión acertada, también se puede valorar la
importancia de su
utilización en un proceso productivo determinado, y cualquier
otro aspecto
relacionados con la importancia de la solución práctica
del problema.
La introducción del contenido se realiza
en las actividades correspondientes a la solución del problema,
con el uso de
una metodología determinada que puede ser cualquiera de las
existentes, en el
ejemplo se aplica la metodología de la modelación
matemática, la teoría de la
enseñanza llamada Matemática realista de Freudenthal,
(1991) denomina a esta
etapa de mate matización, en la que se considera un
tránsito en el aprendizaje,
del análisis de la realidad objetiva a su representación
mediante elementos
simbólicos, relaciones y operadores matemáticos (modelos
matemáticos).
En el planteamiento del modelo siempre
deben ser analizadas las variables que están presentes en el
problema,
considerando la naturaleza en su aplicación.
En la introducción del contenido, el
profesor no debe olvidar que realiza una actividad compleja, introduce
contenidos y resuelve el problema por lo que debe considerar los
aspectos
importantes y significativos de estos.
Al desarrollar las explicaciones de los
contenidos, estas deben ser motivadoras, apoyadas en explicaciones de
experiencias en el uso de los mismos, las principales dificultades
detectadas
en su utilización, esto debe hacerlo de forma vivencial, para
que influya
positivamente en la actividad matemática que deben realizar los
estudiantes.
El profesor debe realizar un resumen sobre
el análisis general de los pasos o procedimientos utilizados en
la solución del
problema, un recorrido crítico del proceso de solución
para que los estudiantes
lo comprendan, lo fijen, y puedan en algún momento realizar
transferencias de
conocimientos, de resultados, de métodos, de ideas y de otros
procedimientos.
La aplicación de esta estrategia didáctica
facilita desarrollar
Habilidades lógicas: idealizar o modelar, analizar o
sintetizar, inducir y/o deducir, abstraer y/o concretar, generalizar
y/o
sistematizar, clasificar, comparar y explicar.
Habilidades prácticas: resolver problemas, aplicar métodos,
técnicas o procedimientos, diseñar, construir e
interpretar modelos, simular y
operar equipos.
Habilidades docentes: tomar notas, hacer resúmenes, confeccionar
informes, confeccionar esquemas y mapas conceptuales.
Conclusiones
En esta investigación se plantea una estrategia didáctica, que utiliza el aprendizaje basado en problemas como un método de enseñanza, en el que la solución del problema sirve de pretexto para enseñar contenidos que favorecen el desarrollo matemático de los estudiantes, y proporciona cultura integral debido a que se influye en la educación mediante la instrucción, la cual propicia la asequibilidad de los conocimientos matemáticos debidos a que estos se explican asociados a su aplicación práctica, lo que motiva a los estudiantes y facilita que comprendan la importancia de la Matemática y su aplicabilidad para resolver problemas presentes en la producción y los servicios.
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